Question

下列命题：①△ABC的三边分别为a，b，c，则该三角形是等边三角形的充要条件为a2+b2+c2=ab+ac+bc；②数列{

下列命题：①△ABC的三边分别为a，b，c，则该三角形是等边三角形的充要条件为a2+b2+c2=ab+ac+bc；②数列{an}的前n项和为Sn，则Sn=An2+Bn是数列{an}为等差数列的必要不充分条件；③在△ABC中，A=B是sin A=sin B的充分必要条件；④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的实数，关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为P，Q，则a1a2=b1b2=c1c2是P=Q的充分必要条件，其中正确的命题是（　　）A．①④B．①②③C．②③④D．①③

Answer 1

对于①：显然必要性成立，反之若a²+b²+c²=ab+ac+bc，则2（a²+b²+c^2）=2（ab+ac+bc），整理得（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，当且仅当a=b=c时成立故充分性成立，故①是真命题；
对于②：由S_n=An²+Bn得a₁=A+B，n≥2时，a_n=s_n=s_n-1=2An-A+B，显然n=1时适合该式，因此数列{a_n}是等差数列，故满足充分性，故②是假命题；
对于③：在三角形中A=B?a=b，又由正弦定理得

a

sinA

＝

b

sinB

＝

c

sinC

，则a=b?sinA=sinB，所以A=B?sinA=sinB，故③是真命题；
对于④：实际上不等式x²+x+5＞0与x²+x+2＞0的解集都是R，但是

1

1

＝

1

1

≠

5

2

，故不满足必要性，故④是假命题．
故选D．