Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数f(x)＝3si

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数f(x)＝3sinx2cosx2+cos2x2，求f（B）的最大值，并判断此时△ABC的形状．

Answer 1

（Ⅰ）在△ABC中，因为b²+c²-a²=bc，由余弦定理 a²=b²+c²-2bccosA  可得cosA=

1

2

．
∵0＜A＜π，（或写成A是三角形内角）∴A＝

π

3

．
（Ⅱ）f(x)＝

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+

1

2

=sin(x+

π

6

)+

1

2

，
∵A＝

π

3

，∴B∈(0，

2π

3

)，∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

．
∴当B+

π

6

＝

π

2

，即B＝

π

3

时，f（B）有最大值是

3

2

．
又∵A＝

π

3

，∴C＝

π

3

，
∴△ABC为等边三角形．