Question

如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线x=12，OA=2，O

如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线x=12，OA=2，OD平分∠BOC交抛物线于点D（点D在第一象限）．（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BPD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）对称轴为直线x=-

b

2×(? 1 2 )

=

1

2

，
解得b=

1

2

，
∵OA=2，
∴点A的坐标为（-2，0），
将点A的坐标代入函数解析式得，-

1

2

×（-2）²+

1

2

×（-2）+c=0，
解得c=3，
所以抛物线解析式为y=-

1

2

x²+

1

2

x+3；

（2）∵OD平分∠扰隐卜BOC交抛物线于点D，
∴直线OD的解析式为y=x，
联立

y＝? 1 2 x2+ 1 2 x+3 y＝x

，
解得

x1＝?3 y1＝?3

，携渣

x2＝2 y2＝2

，
∵点D在第一象限，
∴点D的坐标为（2，2），
∴点D关于对称轴的对称点D′的坐标为（-1，2），
令y=0，则-

1

2

x²+

1

2

x+3=0，
整理得，x²-x-6=0，
解得x₁=-2，x₂=3，
∴点B的坐标为（3，0），
设直线BD′的解析式为y=kx+b，
则

3k+b＝0 ?k+b＝2

，
解得

k＝? 1 2 b＝ 3 2

，
∴直线BD′的解缓穗析式为y=-

1

2

x+

3

2

，
当x=

1

2

时，y=-

1

2

×

1

2

+

3

2

=

5

4

，
所以，点P的坐标为（

1

2

，

5

4

）．