Question

设函数f（x）=x|x-a|（a∈R）（1）讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当x∈[0，1]时，f（x）的最大值

设函数f（x）=x|x-a|（a∈R）（1）讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当x∈[0，1]时，f（x）的最大值为a24，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）a=0，f（x）=x|x|，?x∈R，f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数；
a≠0，f（x）=x|x-a|，f（1）=|a-1|，f（-1）=-|a+1|，f（1）±f（-1）≠0，
∴f（x）为非奇非偶函数
（2）f(x)＝x|x?a|＝

x2?ax x≥a ax?x2 x＜a

①若a≤0，则f(x)max＝f(1)＝1?a＝

a2

4

?a＝?2?2

2

②若a＞0，则
（ i）

a

2

＞1?f(x)max＝f(1)＝

a2

4

?a∈?
（ ii）

a

2

≤1≤

1+ 2

2

a?f(x)max＝f(

a

2

)＝

a2

4

?a∈[2

2

?2，2]
（ iii）1＞

1+ 2

2

a?f(x)max＝f(1)＝

a2

4

?a∈?
综上：a∈[2

2

?2，2]∪{?2

2

?2}