Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，并根据图象（1）写出函数f（x）（x∈R）的增区间；（2）写出函数f（x）（x∈R）的解析式；（3）求函数f（x）x∈[0，3]的值域．

Answer 1

（1）由图象可知当x＜0时，函数的增区间为（-1，0）．又因为函数为偶函数，所以在对称区间上函数的单调性相反，
所以当x＞0时，函数的增区间为（1，+∞）．
（2）设x＞0，则-x＜0，又当x≤0时，f（x）=x²+2x，所以f（-x）=x^2-2x．
又函数为偶函数，所以f（-x）=x^2-2x=f（x），所以当x＞0时f（x）=x^2-2x．
所以函数的解析式为f(x)＝

x2+2x，x≤0 x2?2x，x＞0

．
（3）由题意知，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，
f（0）=0，f（1）=-1，f（3）=3，所以f（x）x∈[0，3]的值域为[-1，3]．