Question

如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线交y轴

如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线交y轴于点C（0，3），点D为抛物线的顶点．直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少；（3）设E为线段OC上的三等分点，连接EP，EQ，若EP=EQ，求点P的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C（0，3），由题意，得 0=a-b+c 0=9a+3b+c 3=c ， 解得： a=-1 b=2 c=3 ∴抛物线的解析式为：y=-x 2 +2x+3， ∴y=-（x-1） 2 +4， ∴D（1，4）； （2）∵PQ⊥x轴， ∴P、Q的横坐标相同， ∵P点在直线y=x-1上，设P（a，a-1），则Q（a，-a 2 +2a+3）， ∴PQ=-a 2 +2a+3-a+1=-a 2 +a+4， ∴PQ=-（a- 1 2 ） 2 + 17 4 ， ∴当a= 1 2 时，线段PQ最长为 17 4 ，则P点坐标为（ 1 2 ，- 1 2 ）； （3）∵E为线段OC上的三等分点，且OC=3， ∴E（0，1）或E（0，2）， 设P（p，p-1）（在y=x-1上），则Q（p，-p 2 +2p+3）． 当E（0，1）时， ∵EP=EQ， ∴（p-0） 2 +（p-1-1） 2 =（p-0） 2 +（-p 2 +2p+3-1） 2 ， ∴p 2 +（p-2） 2 =p 2 +（p 2 -2p-2） 2 ， （p-2） 2 =（p 2 -2p-2） 2 ， ①当 p 2 -2p-2=p-2时， ∴p（p-3）=0， ∴p=0或3， 当p=0，P（0，-1），Q（0，3）， 当p=3，P（3，2），Q（3，0）， 过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q． ∵直线y=x-1交抛物线于点M、N两点， ∴x-1=-x 2 +2x+3， 解得：x 1 = 1- 17 2 ，x 2 = 1+ 17 2 ， M的横坐标为 1- 17 2 ，N点的横坐标为 1+ 17 2 ， ∴P点横坐标：大于等于 1- 17 2 小于等于 1+ 17 2 ， ∴P（3，2），Q（3，0）不符合要求舍去； ②p 2 -2p-2=-p+2， 整理得：p 2 -p-4=0， 解得：P 1 = 1- 17 2 ，p 2 = 1+ 17 2 ， ∵直线y=x-1交抛物线于点M、N两点， ∴x-1=-x 2 +2x+3， 解得：x 1 = 1- 17 2 ，x 2 = 1+ 17 2 ， M的横坐标为 1- 17 2 ，N点的横坐标为 1+ 17 2 ， ∵过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q． ∴P点横坐标：大于等于 1- 17 2 小于等于 1+ 17 2 ， 当E（0，2）时， ∵EP=EQ， ∴（p-0） 2 +（p-1-2） 2 =（p-0） 2 +（-p 2 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2012-05-05 如图,在直角坐标系中,抛物线y=ax^2+bx+c(a不等于0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)两点，交y轴于C（0,3） 5 2013-03-28 如图,在直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)两点,抛物线交y轴于点C(0,3),点D 16 2011-11-11 如图,在直角坐标系中,抛物线y=ax^2+bx+c(a不等于0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)两点 21 2017-11-12 在平面直角坐标系中，抛物线y=1/2x2+Bx+c与X轴交于点A，B，与y轴交于点c，点A、B的坐 2 2016-05-04 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（-4，0），B（-1，0）两点．（1）求抛物线的解 105 2012-06-22 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与Y轴交于点C，点D是抛物线 5 2018-03-29 如图在平面直角坐标系中 抛物线y=ax^2+bx+1与x轴交于点A（-1,0）B（3,0）与Y轴交于点C 9 2016-12-01 在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=2/3x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-2 30 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 新生报道需要注意什么？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2024Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式