Question

如图：一次函数y=-x+m的图象与二次函数y=ax 2 +bx-4的图象交于x轴上一点A，且交y轴于点B，点A的坐标为（-

如图：一次函数y=-x+m的图象与二次函数y=ax 2 +bx-4的图象交于x轴上一点A，且交y轴于点B，点A的坐标为（-2，0）．（1）求一次函数的解析式；（2）设二次函数y=ax 2 +bx-4的对称轴为直线x=n（n＜0），n是方程2x 2 -3x-2=0的一个根，求二次函数的解析式；（3）在（2）条件下，设二次函数交y轴于点D，在x轴上有一点C，使以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似．试求出C点的坐标．

Answer 1

（1）∵一次函数y=-x+m图象经过点A（-2，0）， ∴-（-2）+m=0， ∴m=-2， ∴一次函数解析式为y=-x-2； （2）由2x 2 -3x-2=0得，x 1 =- 1 2 ，x 2 =2， ∴二次函数y=ax 2 +bx-4的对称轴为直线x=- 1 2 ， ∴ 4a-2b-4=0 - b 2a =- 1 2 ， 解得 a=2 b=2 ， ∴二次函数的解析式为y=2x 2 +2x-4； （3）令x=0，一次函数与y轴的交点B（0，-2）， 二次函数与y轴的交点为D（0，-4）， ∴△AOB是等腰直角三角形，BD=-2-（-4）=2， ∴AB= 2 2 +2 2 =2 2 ，∠OAB=∠OBA=45°， ∵△ABD中，∠BAD、∠ADB都不等于45°，∠ABD=180°-45°=135°， ∴∠BAC和∠ABD是对应角为135°， ∴点C在点A的左边， ①AC和BD是对应边时，∵△ADB ∽ △BCA， ∴ AC BD = AB AB =1， ∴AC=BD=2， ∴OC=OA+AC=2+2=4， 点C的坐标为（-4，0）， ②AC和AB是对应边时，∵△ADB ∽ △CBA， ∴ AC AB = AB BD = 2 2 2 ， ∴AC= 2 AB= 2 ×2 2 =4， ∴OC=OA+AC=2+4=6， ∴点C的坐标为（-6，0）， 综上所述，在x轴上有一点C（-4，0）或（-6，0），使以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似．