Question

（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A 1 B 1 C 1 中，∠ACB=90°，AC=BC=CC 1 =2.（I）证明：AB 1

（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A 1 B 1 C 1 中，∠ACB=90°，AC=BC=CC 1 =2.（I）证明：AB 1 ⊥BC 1 ；（II）求点B到平面AB 1 C 1 的距离；（III）求二面角C 1 —AB 1 —A 1 的大小．

Answer 1

（I）证明见解析 （II） （III）

（法一） （1）证：连B 1 C      ∵平面ABC⊥平面BCC 1 B 1 又AC⊥BC  ∴AC⊥面BCC 1 B 1   ∴B 1 C为AB 1 在面BCC 1 B 1 内的射影 又BC=BB 1 ="2"   ∴四边形BCC 1 B 1 为正方形 ∴B 1 C ⊥ BC 1    ∴AB 1 ⊥ BC 1    …………………… w.@w.w.k.&s.5*u.c.o~m ……………………………4分 （2）∵BC∥B 1 C 1    ∴C到面AB 1 C 1 的距离即为B到面AB 1 C 1 的距离 ∵平面A 1 B 1 C 1 ⊥平面ACC 1 A 1 又B 1 C 1 ⊥A 1 C 1  ∴B 1 C 1 ⊥平面ACC 1 A 1 ∴平面AB 1 C 1 ⊥平面ACC 1 A 1 连A 1 C∩AC 1 ="O" ∵四边形ACC 1 A 1 为正方形  ∴CO⊥面AB 1 C 1 ∴CO即为所求 ∴CO=  ∴B到面AB 1 C 1 的距离为  ………………………8分 （3）由（2）得 A 1 O⊥面AB 1 C 1   过O做OE⊥AB 1 于E 连A 1 E   由三垂线定理有A 1 E⊥AB 1 ∴∠A 1 EO为二面角C 1 -AB 1 -A 1 的平面角 又在Rt⊿A 1 OE中，A 1 O=    OE=   ∴tan∠A 1 EO=      ∴∠A 1 EO= ∴二面角C 1 -AB 1 -A 1 的大小为        …………………………………………12分 （法二）（1）建立直角坐标系，其中C为坐标原点. 依题意A（2，0，0），B（0，2，0），B 1 （0，2，2），[来源:学科网] C 1 （0，0，2），因为 ，所以A B 1 ⊥BC 1 . ……………4分  （2）设 是平面AB 1 C 1 的法向量， 由 得 所以 令 ，则 ， 因为 ，所以，B到平面AB 1 C 1 的距离为 .… w.@w.w.k.&s.5*u.c.o~m …………8分 （3）设 是平面A 1 AB 1 的法向量.由  令 =1， 则 因为 所以，二面角C 1 —AB 1 —A 1 的大小为60°… 12分