Question

设函数 是定义在 上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对正数x、y都有 ；（2）当 时， ；（3）

设函数 是定义在 上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对正数x、y都有 ；（2）当 时， ；（3） 。则（Ⅰ）求 和 的值；（Ⅱ）如果不等式 成立，求x的取值范围．（Ⅲ）如果存在正数k，使不等式 有解，求正数 的取值范围．





Answer 1

（1）2；（2） ；（3） 。

解：（Ⅰ）令 易得 ．而 且 ，得 ． （Ⅱ）设 ，由条件（1）可得 ，因 ，由（2）知 ，所以 ，即 在 上是递减的函数． 由条件（1）及（Ⅰ）的结果得： 其中 ，由函数 在 上的递减性，可得： ，由此解得x的范围是 ． （Ⅲ）同上理，不等式 可化为 且 ， 得 ，此不等式有解，等价于 ，在 的范围内，易知 ，故 即为所求范围．