已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝14，且2Sn=2Sn-1+2an-1+1（n≥2，n∈N*）．数列{bn}满足b1＝34，且3bn-b
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝14，且2Sn=2Sn-1+2an-1+1（n≥2，n∈N*）．数列{bn}满足b1＝34，且3bn-bn-1=n（n≥2，n∈N...
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝14，且2Sn=2Sn-1+2an-1+1（n≥2，n∈N*）．数列{bn}满足b1＝34，且3bn-bn-1=n（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{an}为等差数列；（Ⅱ）求证：数列{bn-an}为等比数列；（Ⅲ）求数列{bn}的通项公式以及前n项和Tn．
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（Ⅰ）证明：∵2Sn=2Sn-1+2an-1+1（n≥2，n∈N*），
∴当n≥2时，2an=2an-1+1，
可得an?an?1＝
．
∴数列{an}为等差数列．（4分）
（Ⅱ）证明：∵{an}为等差数列，公差d＝
，
∴an＝a1+(n?1)×
＝
n?
.（5分）
又3bn-bn-1=n（n≥2），
∴bn＝
bn?1+
n(n≥2)，
∴bn?an＝
bn?1+
n?
n+
＝
bn?1?
n+
=
(bn?1?
n+
)
=
[bn?1?
(n?1)+
]
=
(bn?1?an?1).（8分）
又b1?a1＝
≠0，
∴对n∈N*，bn-an≠0，得
＝
(n≥2)．
∴数列{bn-an}是首项为
公比为
等比数列．（9分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得bn?an＝
∴当n≥2时，2an=2an-1+1，
可得an?an?1＝
| 1 |
| 2 |
∴数列{an}为等差数列．（4分）
（Ⅱ）证明：∵{an}为等差数列，公差d＝
| 1 |
| 2 |
∴an＝a1+(n?1)×
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
又3bn-bn-1=n（n≥2），
∴bn＝
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴bn?an＝
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 4 |
=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
=
| 1 |
| 3 |
又b1?a1＝
| 1 |
| 2 |
∴对n∈N*，bn-an≠0，得
| bn?an |
| bn?1?an?1 |
| 1 |
| 3 |
∴数列{bn-an}是首项为
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得bn?an＝
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