Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），且经过定点P（1，32），

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），且经过定点P（1，32），M（x0，y0）为椭圆C上的动点，以点M为圆心，MF2为半径作圆M．（1）求椭圆C的方程；（2）若圆M与y轴有两个不同交点，求点M横坐标x0的取值范围；（3）是否存在定圆N，使得圆N与圆M恒相切？若存在，求出定圆N的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由椭圆定义得|PF₁|+|PF₂|=2a，…（1分）
即2a=4，…（2分）
∴a=2．
又c=1，∴b²=a²-c²=3．
故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

＝1…（4分）
（2）设M（x₀，y₀），则圆M的半径r=

(x0?1)2+y02

，…（5分）
圆心M到y轴距离d=|x₀|，
若圆M与y轴有两个交点则有r＞d即

(x0?1)2+y02

＞|x₀|，…（7分）
化简得y02?2x0+1＞0．
∵M为椭圆上的点
∴得3x02+8x0?16＜0，
解得-4＜x₀＜

4

3

．
∵-2≤x₀≤2，
∴-2≤x₀＜

4

3

．…（9分）
（3）存在定圆N：（x+1）²+y²=16与圆M恒相切，
其中定圆N的圆心为椭圆的左焦点F₁，半径为椭圆C的长轴长4．…（12分）
∵由椭圆定义知，|MF₁|+|MF₂|=4，即|MF₁|=4-|MF₂|，
∴圆N与圆M恒内切．…（14分）