Question

设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．（I）求数列{an}的通项公式；（II）

设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．（I）求数列{an}的通项公式；（II）求a1+a3+…+a2n+1．

Answer 1

（I）∵S₁=a₁=1，且数列{S_n}是以2为公比的等比数列，
∴S_n=2^n-1．（2分）
又当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-2（2-1）=2^n-2．（5分）
∴an＝

1(n＝1) 2n?2(n≥2).

（7分）
（II）a₃，a₅，…，a_2n+1是以2为首项，以4为公比的等比数列，（9分）
∴a3+a5+…+a2n+1＝

2(1?4n)

?3

．（11分）
∴a₁+a₃+…+a_2n+1=1+

2(4n?1)

3

＝

22n+1+1

3

．（13分）