Question

已知函数f(x)=ax方-（x+1）的绝对值+2a（a是常数且a属于R）

求f（x)在【1,2】上的最小值g（a）2.记A={x∈R|f（x）小于0}，若A=空集，求实数a的取值范围
急求！

Answer 1

（1）f(x)=ax²-|x+1|+2a
在[1,2]区间|x+1|=x+1
f(x)=ax²-x-1+2a
=a(x-1/2a)²-1/4a²-1+2a
对称轴为x=1/2a
a>0,抛物线开口向上，对称轴左侧单调递减，右侧单调递增
∴1/2a<1即0<a<2时,g(a)=f(1) =3a-2 曲线处于单增段，f(1)最小
1/2a>2即a>4时， g(a)=f(2) =6a-3 曲线处于单减段，f(2)最小
1≤1/2a≤2 2≤a≤4时，g(a)=f(x)的最小值=-1/4a²-1+2a ，曲线的对称轴在[1,2]区间
a<0,开口向下，对称轴左侧单调递增，右侧单调递减，无法确定最小值。
A={x∈R|f(x)<0}

ax²-|x+1|+2a<0,是空集
则ax²-|x+1|+2a≥0
x≥-1时
ax²-x-1+2a≥0
a+2a+2≥0
a≥-2/3 ①
x<-1时
ax²+x+1+2a≥0
a(x+1/2a)²-1/4a²+1+2a≥0
a≤0,无解，

a>0时②，最小值-1/4a²+1+2a≥0
a²-8a-1<0
(a-4)²-17<0
4-√17<a<4+√17 ③
∴根据①②③a的取值范围：0<a<4+√17