Question

如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y=ax 2 +bx+c与x轴的另一交点为A，

如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y=ax 2 +bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2。 （1）求点A的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连结AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）解依题意得 ，解之得 ， ∴A（6，-3），B（-4，2）；
（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点，交AB于M（如图） 由（1）可知：OA=3 ，OB=2 ， ∴AB=5 ， ∴OM= AB-OB= ， 过B作BE⊥x轴，E为垂足， 由△BEO∽△OCM，得： ， ∴OC= ， 同理：OD= ， ∴C（ ，0），D（0， ）， 设CD的解析式为y=kx+b（k≠0） ∴ ，∴ ∴AB的垂直平分线的解析式为y=2x- ；
（3）若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线 上，并设该直线与x轴，y轴交于G，H两点（如图） ∴ ，∴ ， ∵抛物线与直线只有一个交点， ∴ ， ∴m= ，∴P（1， ） 在直线GH： 中， ∴ ， ∴GH= ， 设O到GH的距离为d， ∴ ， ∴ ， ∴d= ， ∵AB∥GH， ∴P到AB的距离等于O到GH的距离d， ∴ 。