Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP= ，∠A=30 o ． （1）求劣弧 的长； （2

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP= ，∠A=30 o ． （1）求劣弧 的长； （2）若∠ABD=120 o ，BD=1，求证：CD是⊙O的切线．

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Answer 1

（1）解：延长OP交AC于E， ∵ P是△OAC的重心，OP= ， ∴ OE=1，  且 E是AC的中点. ∵ OA=OC， ∴ OE⊥AC. 在Rt△OAE中， ∵ ∠A=30°，OE=1， ∴ OA=2. ∴ ∠AOE=60° ∴ ∠AOC=120° ∴ .  （2）证明：连结BC. ∵ E、O分别是线段AC、AB的中点， ∴ BC∥OE，且BC=2OE=2=OB=OC. ∴ △OBC是等边三角形.  ∴ ∠OBC=60°. ∵ ∠OBD=120°， ∴ ∠CBD=60°=∠AOE.  ∵ BD=1=OE，BC=OA， ∴ △OAE ≌△BCD.  ∴ ∠BCD=30° ∵ ∠OCB=60°， ∴ ∠OCD=90° ∴ CD是⊙O的切线.