Question

有下列五种说法：①函数y=f（-x+2）与y=f（x-2）的图象关于y轴对称；②函数 y=( 1 2 ) x

有下列五种说法：①函数y=f（-x+2）与y=f（x-2）的图象关于y轴对称；②函数 y=( 1 2 ) x 2 +2x 的值域是[2，+∞）；③若函数f（x）=log 2 |x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，则f（-2）＞f（a+1）；④若f（x）= (3a-1)x+4a，(x＜1) lo g a x，(x≥1) 是（-∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是（0， 1 3 ）；⑤设方程 2 -x =|lgx|的两个根为x 1 ，x 2 ，则 0＜x 1 x 2 ＜1．其中正确说法的序号是______．

Answer 1

由f（-x+2）=f[-（x-2）]，所以函数y=f（-x+2）的图象是把函数y=f（-x）的图象向右平移2个单位得到的， y=f（x-2）的图象是把y=f（x）的图象向右平移2个单位得到的，而y=f（x）与y=f（-x）的图象关于y轴轴对称， 所以，函数y=f（-x+2）与y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称．所以，命题①错误； 令x 2 +2x=t，则函数函数 y=( 1 2 ) x 2 +2x 化为 y=( 1 2 ) t ，又t=x 2 +2x=（x+1） 2 -1≥-1， 0＜ ( 1 2 ) t ≤2 ，即函数 y=( 1 2 ) x 2 +2x 的值域是（0，2]．所以命题②错误； 函数f（x）=log a |x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，因为t=|x|在（0，+∞）上单调递增，所以， 函数y=log a t也在（0，+∞）上单调递增，则a＞1，a+1＞2．又因为函数f（x）=log 2 |x|是偶函数， 所以f（-2）=f（2），则f（-2）=f（2）＜f（a+1）．所以，命题③错误； 由f（x）= (3a-1)x+4a，(x＜1) lo g a x，(x≥1) 是（-∞，+∞）上的减函数，则 3a-1＜0 0＜a＜1 (3a-1)+4a≥lo g a 1 ， 解得： 1 7 ≤a＜ 1 3 ．所以，命题④错误； 令 y 1 = 2 -x ，y 2 =|lgx|， 在平面直角坐标系中作出这两个函数的图象如图， 不妨设A点的横坐标为x 1 ，B点的横坐标为x 2 ，则x 1 ＜1＜x 2 ， 由 1 2 x 1 =|lg x 1 |=-lg x 1 ，得 lg x 1 =- 1 2 x 1 ， lg x 2 =|lg x 2 |= 1 2 x 2 ，得： lg x 1 x 2 =lg x 1 +lg x 2 = 1 2 x 2 - 1 2 x 1 = 2 x 1 - 2 x 2 2 x 1 2 x 2 ＜0． 所以，0＜x 1 x 2 ＜1．所以，命题⑤正确． 故答案为⑤．