Question

已知二次函数f（x）=x 2 +2bx+c（b，c∈R）．（1）若f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤1}，求实数b，c的值；（

已知二次函数f（x）=x 2 +2bx+c（b，c∈R）．（1）若f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤1}，求实数b，c的值；（2）若f（x）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实根分别在区间（-3，-2）和（0，1）内，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）因为f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤1}， 所以x 2 +2bx+c=0的根为-1，1． 故-1+1=-2b?b=0； （-1）×1=c?c=-1． 所以b=0，c=-1． （2）因为f（1）=0，所以1+2b+c=0?c=-2b-1． 所以f（x）+x+b=0即为x 2 +（2b+1）x-b-1=0． 令g（x）=x 2 +（2b+1）x-b-1 ∵g（x）=f（x）+x+b=0的两个实根分别在区间（-3，-2）和（0，1）内，如图示 ∴ g(0)＜0 g(1)＞0 g(-3)＞0 g(-2)＜0 ? b＞-1 b＞-1 b＞ 1 5 b＜ 5 7 ? 1 5 ＜b＜ 5 7 故实数b的取值范围是 1 5 ＜b＜ 5 7 ．