Question

如图，抛物线y=ax2+2ax+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A和点B分别在x轴的正、负半轴上），cot∠OC

如图，抛物线y=ax2+2ax+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A和点B分别在x轴的正、负半轴上），cot∠OCA=3．（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线l与抛物线交于点E、F（点F在点E的左边），如果四边形OBFE是平行四边形，求点E的坐标．

Answer 1

（1）由题意，得C（0，3）（1分）
在Rt△AOC中，∠AOC=90°，
∵cot∠OCA＝

OC

OA

＝3
∴OA=1，
∴A（1，0）（2分）
∵点A在抛物线y=ax²+2ax+3上，
∴a+2a+3=0（1分）
解得a=-1（1分）
∴抛物线的解析式是y=-x²-2x+3（1分）

（2）∵抛物线y=-x²-2x+3的对称轴是直线x=-1（1分）
又A（1，0）
∴点B（-3，0）（1分）
∵四边形OBFE是平行四边形
∴EF=OB=3，
∴点E的横坐标为

3

2

?1＝

1

2

．（1分）
设点E(

1

2

，y)（1分）
∴y＝?(

1

2

)2?2×

1

2

+3＝

7

4

（1分）
∴点E(

1

2

，

7

4

)（1分）