Question

已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|＜ π 2 ) 的图象，它与y轴的交点为（ 0，

已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|＜ π 2 ) 的图象，它与y轴的交点为（ 0， 3 2 ），它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x 0 ，3），（x 0 +2π，-3）．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求这个函数的单调递增区间和对称中心．（3）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

Answer 1

（1）由题意可得A=3，由在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x 0 ，3），（x 0 +2π，-3）得 T 2 = x 0 +2π- x 0 =2π ， ∴T=4π从而 ω= 1 2 又图象与y轴交于点 (0， 3 2 ) ， ∴ 3 2 =3sinφ ? sinφ= 1 2 由于 |φ|＜ π 2 ) ， ∴ φ= π 6 函数的解析式为 f(x)=3sin( 1 2 x+ π 6 ) （2）因为 1 2 x+ π 6 ∈ [2kπ- π 2 ，2kπ+ π 2 ] ，k∈Z，所以x∈ [4kπ- 4π 3 ，4kπ+ 2π 3 ]，(k∈Z) ， 函数的单调递增区间： [4kπ- 4π 3 ，4kπ+ 2π 3 ]，(k∈Z) ； 因为 1 2 x+ π 6 =kπ   k∈Z ，解得x= - π 3 +2kπ，(k∈Z) ，所以函数的对称中心： ( π 3 +2kπ，0)(k∈Z) （3）将函数y=sinx的图象向左平移 π 6 个单位，再将所得函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的两倍，最后将所得函数的图象横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍得到函数 y=3sin( 1 2 x+ π 6 ) 的图象．