Question

证明：含参变量的无穷积分I（y）=∫+∞1sinx1+xeydx在[0，+∞）上一致收敛

证明：含参变量的无穷积分I（y）=∫+∞1sinx1+xeydx在[0，+∞）上一致收敛．

Answer 1

当x≥1时，

sinx

1+xey

=

sinx

x

?

1

1 x +ey

．
对于

sinx

x

，
因为?A≥1，|

∫

A 0

sinxdx|＝|cosA?1|≤2，
又因为

1

x

在[1，+∞）上单调且

lim

x→+∞

1

x

=0，
故由狄利克莱判别法可得，

∫

+∞ 1

sinx

x

dx收敛．①
对于

1

1 x +ey

，
任意取定y∈[0，+∞），
则

1

1 x +ey

关于x单调．②
综合①、②，由阿贝尔判别法可得，
含参变量的无穷积分I（y）在[0，+∞）上一致收敛．