Question

（2011?无锡一模）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕

（2011?无锡一模）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地．如题图所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为34d，重力加速度为g．忽略手的运动半径和空气阻力．（1）求绳断时球的速度大小 v1和球落地时的速度大小 v2．（2）问绳能承受的最大拉力多大？（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？

Answer 1

（1）设绳段后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有
竖直方向

1

4

d＝

1

2

gt2，水平方向d=v₁t
得v1＝

2gd

由机械能守恒定律，有

1

2

mv22＝

1

2

mv12+mg(d?

3

4

d)
得v2＝

5 2 gd

（2）设绳能承受的最大拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力大小．
球做圆周运动的半径为R＝

3

4

d
由圆周运动向心力公式，有 T?mg＝

mv12

R

得    T＝

11

3

mg
（3）设绳长为l，绳断时球的速度大小为v₃，绳承受的最大拉力不变，
有  T?mg＝

mv32

l

得v3＝

8 3 gl

绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-l，水平位移为x，时间为t₁
有d?l＝

1

2

gt12x=v₃t₁
得    x＝4

l(d?l) 3

当l＝

d

2

时，x有最大值，xmax＝

2 3

3

d
答：（1）求绳断时球的速度大小 v₁为

2gd

，球落地时的速度大小 v₂为

5 2 gd

；
（2）绳能承受的最大拉力为

11

3

mg；
（3）绳长应是

d

2

，最大水平距离为

2 3

3

d．