Question

如图所示，xOy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场，一个质量为m、带电荷量为+q的粒子从坐标原点O以速度为

如图所示，xOy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场，一个质量为m、带电荷量为+q的粒子从坐标原点O以速度为v0沿x轴正方向开始运动．当它经过图中虚线上的M（23a，a）点时，撤去电场，粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域（图中未画出），又从虚线上的某一位置N处沿y轴负方向运动并再次经过M点．已知磁场方向垂直xOy平面（纸面）向里，磁感应强度大小为B，不计粒子的重力．试求：（1）电场强度的大小；（2）粒子在匀强磁场中的运动时间；（3）N点的坐标；（4）矩形匀强磁场区域的最小面积．

Answer 1

粒子运动轨迹如图所示：
（1）粒子从O到M做类平抛运动，设时间为t，则有：
2

3

a=v₀t，a=

1

2

qE

m

t2，
解得：E=

m v 2 0

6qa

，t=

2 3 a

v0

；
（2）设粒子运动到M点时速度为v，与x方向的夹角为α，
则：v_y=at=

qE

m

t=

3

3

v₀，
速度：v=

v 2 0 + v 2 y

=

2 3

3

v₀，
则：tanα=

vy

v0

=

3

3

，
解得：α=30°，
由几何知识可知，粒子转过的圆心角：
θ=360°-2×（90°-30°）=240°，
粒子在磁场中的运动时间：t=

θ

360°

T=

240°

360°

×

2πm

qB

=

4πm

3qB

；
（3）由题意知，粒子从P点进入磁场，从N点离开磁场，
粒子在磁场中以O′点为圆心做匀速圆周运动，设半径为R，
由牛顿第二定律得：qvB=m

v2

R

，
代入数据得粒子做圆周运动的半径为：R=

2 3 mv0

3qB

由几何关系知：β=

1

2

∠PMN=30°，
所以N点的纵坐标为：y_N=

R

tanβ

+a=

2mv0

qB

+a，
横坐标为：x_N=2

3

a，
故N点坐标为：（2

3

a，

2mv0

qB

+a）；
（4）当矩形磁场为图示虚线矩形时的面积最小．则矩形的两个边长分别为：
L₁=2R=

4 3 mv0

3qB

，L₂=R+Rsinβ=

3 mv0

qB

，
所以矩形磁场的最小面积为：S_min=L₁L₂=

4m2 v 2 0

q2B2

；
答：（1）电场强度的大小为：

m v 2 0

6qa

；
（2）粒子在匀强磁场中的运动时间为：

4πm

3qB

；
（3）N点的坐标为：（2

3

a，