Question

数学分析证明 part1

大神。。帮帮忙吧，这里19道题 找了很多人都不会。。只有专业的才行。我知道大家都在过年。下周考试。这老师给的练习题。都不发答案的。真心做不起，本来想周一发的。病了3天。。下周一考试。。55555给个微信号吧。。一定给个大大的红包。谢谢了

Answer 1

部分解答：

 

　　第二题，参见下图：

 

　　第三题，利用e^x在x=0的Taylor展开式（见下图）：

　　求比r_n(x)/[(x^n)/n]在x=1处的值，为(e^θ)/(n+1)，注意到n>=2，从而可得e^θ<e<3，故(e^θ)/(n+1)<1成立。

 

 

　　第四题：利用反证法，以及下面的定理：

　推出级数是发散的；

　并注意到a_n恒非负，可知x=1时，数项级数发散至+∞，得证.

 

　　第五题：参考下图的证明过程。

　　

　　 第六题：Dini定理，证明参考图示（取S_n(x)=f_n(x)-f(x)&S(x)=0）

追问

……太感谢了 先看看。 留个微信吧。过年 发红包^_^

请问第一题呢

第四题有点不懂啊…怎么就发散了？怎么把abel反过来用呢

第五题为何是参考？？？…蒙了

而且第五题不是证明连续吧？+_+

第六题为何呀…

直观的画图感觉都对啊

7和8不在了5555

追答

第五题就是证明连续性的，不过它用一个自变量序列趋向一个定点来表述而已；

第四题，假定函数项级数在x=1处收敛，利用阿贝尔定理，极限运算lim(x→1-0)&求和运算∑可以交换次序，得出∑a_n是收敛级数，与题设矛盾；

第六题是正确的结论，注意：图片用反证法来证明。
此定理其他的证明方法，可见链接：http://wenku.baidu.com/view/ab5d47d97f1922791688e842.html

第七题，题设f_n仅仅是黎曼可积函数列，要证明本题结论，需要用上勒贝格定理的知识。可参见常庚哲&史济怀的《数学分析教程》，不过这个知识是接近实变函数的理论的。

第八题，证明逐点收敛是容易的，柯西根值判别法即可。
而非一致收敛的证明：先求出和函数的表达式（就是一个等比级数，分x=0和x≠0计算），发现和函数在x=0处间断；但函数项级数每一项都是连续函数，利用第五题的连续性定理，和函数应是连续函数，从而出现矛盾。

追问

对啊4题如果假设，肯定会矛盾啊…而且x=1，不是证明的发散吗？所以呢？第八题那个一致收敛可不可以写一下呢。有点看不懂。

对啊，4题如果假设x=1肯定矛盾啊，而且和题设不同。

追答

追问

确认一下…8题的根值判别法是不是取根号下n次方然后小于1呢？

确认一下…8题的根值判别法是不是取根号下n次方然后小于1呢？

追答

嗯；当然也可以用达朗贝尔的比值判别法。

 

第4题，是Abel第二定理的逆定理。

严格证明，就必须根据极限取值+∞的定义来说明。

 

第7题，截图解答见下（附：用到了零测集的性质，原书也有专门章节介绍；如想深入学习黎曼可积的理论，可阅读书中$7.6的内容）

追问

能把6题细节给一下吗谢谢了

追答

这里给出Dini定理的正向证明：

Answer 2

第1题解法
lim(n->∞)
∵an>bn>0, an>a(n+1), 数列{an}单调递减
又∵lim(n->∞)an=0,
根据交错级数的莱布尼兹(Leibnitz)判别法，

交错级数∑（n=1..∞）（(-1)^n*an）收敛。

对于正项级数有比较判别法，
对交错级数是否可以依据 an>bn>0,
来判别∑（n=1..∞）（(-1)^n*bn）收敛性呢？结论是不一定。

例1. 取an=1/n, bn=1/(n^1+1), 显然满足条件an>bn>0, 且an>an+1, lim(n->∞)an=0， 而且有bn>bn+1, lim(n->∞)bn=0成立，
根据交错级数的莱布尼兹(Leibnitz)判别法，
交错级数∑（n=1..∞）（(-1)^n*an）收敛，交错级数∑（n=1..∞）（(-1)^n*bn）也收敛。

例2.取an=1/√n, bn=1/(n+1) (n=1,3,5,7,...) 或=1/(n^2+1) （n=2,4,6,8,...),
显然满足条件an>bn>0, 且an>an+1, lim(n->∞)an=0，
根据交错级数的莱布尼兹(Leibnitz)判别法，
交错级数∑（n=1..∞）（(-1)^n*an）收敛.
但交错级数∑（n=1..∞）（(-1)^n*bn）发散。
∵其前2n项的和
S2n=-1/2+1/5-1/4+1/17+...-1/(2n-1+1)+1/((2n)^2+1)
=-∑（k=1,2,..n)(1/(2k))+∑（k=1,2,..n)(1/(4k^2+1))
=-1/2*∑（k=1,2,..n)(1/k)+∑（k=1,2,..n)(1/(4n^2+1))
∵级数-1/2*∑（k=1..∞）(1/k) ->-∞，而级数∑（k=1..∞)(1/(4n^2+1)) 收敛，
∴lim(n->∞)S2n=-∞,
从而交错级数∑（n=1..∞）（(-1)^n*bn）发散

第2题
由展开式e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...
设f(x)=(e^x-1)/x=1+x/2!+x^2/3!+...+x^(n-1)/n!+...
f'(x)=(xe^x-e^x+1)/x^2=1/2!+2x/3!+...+(n-1)x^(n-2)/n!+...
f'(1)=(1*e-e+1)/1^2=1/2!+2*1/3!+...+(n-1)*1^(n-2)/n!+...
即1/2!+2/3!+3/4!+...=1 得证。

第3题
由e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x)
其中拉格朗日Lagrange余项 Rn(x)=e^θ*x^(n+1)/(n+1)! (0<θ<x)=∑（j=(n+1)..∞）x^(n+1)/(n+1)!
当x=1 时，有
e=2+1/2!+1/3!+...+1/n!+e^θ/(n+1)! (0<θ<1)
e^θ/(n+1)!=∑（j=(n+1)..∞）(1/(n+1)!)
1)当n=1时，
∑（j=(1+1)..∞）(1/(1+1)!)=e^θ/(1+1)!=e-2<1=1/1!

2）当n≥2时,
(1/n!)/(e^θ/(n+1)!)=(n+1)/e^θ≥(2+1)/e^θ>3/e^1>1
1/n! > e^θ/(n+1)!=∑（j=(n+1)..∞）(1/(n+1)!)
综上，1/n! >∑（j=(n+1)..∞）(1/(n+1)!) （n≥1) 证毕

第4题
∵an>=0, ∑（n=0..∞)an发散
∴∑（n=0..∞)an=+∞
∵幂级数∑（n=0..∞)（anx^n ）在|x|<1上收敛，
则∑（n=0..∞)（anx^n ）在收敛域|x|<1上连续，
lim(x->1-)(∑（n=0..∞)（anx^n ）)=∑（n=0..∞)（an*1^n ）
∑（n=0..∞)an=+∞ 证毕