Question

如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D、求证： PB BD = PC CD

如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D、求证： PB BD = PC CD ．

Answer 1

连接OA， ∵PA是切线， ∴∠PAO=∠PDA=90°， 又∵∠APD=∠OPA， ∴△APD ∽ OPA， ∴ PD PA = PA PO ， ∴PA 2 =PD?PO， 又∵PA是切线， ∴PA 2 =PB?PC ∴PA 2 =PD?PO=PB?PC 又∵∠CPD=∠OPB， ∴△PCD ∽ △POB ∴ PC CD = PO OB = PO OC 又△POC ∽ △PBD，则 PO OC = PB BD ∴ PB BD = PC CD ．