Question

函数y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．（1）求f（0）的值；（2）若f（1）=1，求f

函数y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．（1）求f（0）的值；（2）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）的值，猜想f（n）的表达式并用数学归纳法证明你的结论；（3）若f（1）≥1，求证： f( 1 2 n )＞0(n∈ N * ) ．

Answer 1

（1）令x=y=0得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0?f（0）=0 （2）f（1）=1， f(2)=f(1+1)=1+1+2=4 f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9 f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16 猜想f（n）=n 2 ，下用数学归纳法证明之． ①当n=1时猜想成立． ②假设n=k时猜想成立，即：f（k）=k 2 ， 那么f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=k 2 +2k+1=（k+1） 2 ． 这就是说n=k+1时猜想也成立． 对于一切n≥1，n∈N + 猜想都成立． （3）f（1）≥1，则 f(1)=2f( 1 2 )+2× 1 2 × 1 2 ≥1?f( 1 2 )≥ 1 4 ＞0 假设n=k（k∈N * ）时命题成立，即 f( 1 2 k )≥ 1 2 2k ＞0 ，则 f( 1 2 k )=2f( 1 2 k+1 )+2× 1 2 k+1 × 1 2 k+1 ≥ 1 2 2k ?f( 1 2 k+1 )≥ 1 2 2(k+1) ， 由上知，则 f( 1 2 n )＞0(n∈ N * ) ．