Question

如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2 3 ，点P是边BC上的动点（点P不与点B，C重合），过点P

如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2 3 ，点P是边BC上的动点（点P不与点B，C重合），过点P作直线PQ ∥ BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点．设CP=x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．（1）求∠CPQ的度数．（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？（3）当点R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式．并求此时函数值y的取值范围．

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Answer 1

（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC； 又AB=6，AD=2 3 ，∠C=90°， ∴CD=6，BC=2 3 ； ∴tan∠CDB= BC CD = 3 3 ； ∴∠CDB=30°，∠CBD=60°； ∵PQ ∥ BD， ∴∠CPQ=∠CBD=60°； （2）如图，由轴对称的性质知：△RPQ≌△CPQ， ∴∠RPQ=∠CPQ，RP=CP； 由（1）知：∠CPQ=60°， ∴∠RPQ=∠CPQ=60°； ∴∠RPB=60°， ∴RP=2BP； 令CP=x， ∴RP=x，PB=2 3 -x； 在△RPB中，根据题意，得：2（2 3 -x）=x，解得x= 4 3 3 ； （3）当R在矩形ABCD的外部时， 4 3 3 ＜x＜2 3 ； 在Rt△PFB中，∵∠RPB=60°， ∴PF=2BP=2（2 3 -x）； 又∵RP=CP=x， ∴RF=RP-PF=3x-4 3 ； 在Rt△ERF中，∵∠EFR=∠PFB=30°， ∴ER= 3 x-4； ∴S △ERF = 1 2 ER×FR= 3 3 2 x 2 -12x+8 3 ； ∴y=S △RPQ -S △ERF ； ∴当 4 3 3 ＜x＜2 3 时，y=- 3 x 2 +12x-8 3 ． ∴ 8 3 3 ＜y＜4 3 ．