Question

已知函数f（x）=2 3 sinxcosx+2cos 2 x-1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间

已知函数f（x）=2 3 sinxcosx+2cos 2 x-1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0， π 2 ]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x 0 ）= 6 5 ，x 0 ∈[ π 4 ， π 2 ]，求cos2x 0 的值．

Answer 1

（1）由f（x）=2 3 sinxcosx+2cos 2 x-1，得 f（x）= 3 （2sinxcosx）+（2cos 2 x）-1）= 3 sin2x+cos2x=2sin（2x+ π 6 ） 所以函数f（x）的最小正周期为π． 因为f（x）=2sin（2x+ π 6 ）在区间[0， π 6 ]上为增函数，在区间[ π 6 ， π 2 ]上为减函数， 又f（0）=1，f（ π 6 ）=2，f（ π 2 ）=-1，所以函数f（x）在区间[0， π 2 ]上的最大值为2，最小值为-1． （Ⅱ）由（1）可知f（x 0 ）=2sin（2x 0 + π 6 ） 又因为f（x 0 ）= 6 5 ，所以sin（2x 0 + π 6 ）= 3 5 由x 0 ∈[ π 4 ， π 2 ]，得2x 0 + π 6 ∈[ 2π 3 ， 7π 6 ] 从而cos（2x 0 + π 6 ）=- 1- sin 2 (2 x 0 + π 6 ) =- 4 5 ． 所以 cos2x 0 =cos[（2x 0 + π 6 ）- π 6 ]=cos（2x 0 + π 6 ）cos π 6 +sin（2x 0 + π 6 ）sin π 6 = 3-4 3 10 ．