Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交

如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D．（1）判断直线CA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=2 3 ，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

（1）直线CA与⊙O相切． 如图，连接OA． ∵AB=AC，∠B=30°， ∴∠C=∠B=30°，∠DOA=2∠B=60°． ∴∠CAO=90°，即OA⊥CA． ∵点A在⊙O上， ∴直线CA与⊙O相切； （2）∵AB=2 3 ，AB=AC， ∴AC=2 3 ， ∵OA⊥CA，∠C=30°， ∴OA=AC?tan30°=2 3 ? 3 3 =2． ∴S 扇形OAD = 60π× 2 2 360 = 2 3 π． ∴图中阴影部分的面积等于S △AOC -S 扇形OAD =2 3 - 2 3 π．