Question

设二次型f（x1，x2，x3）=x12+ax22+x32+2x1x2-2x2x3-2ax1x3的正负惯指数都是1，试计算a的值并用正交变换

设二次型f（x1，x2，x3）=x12+ax22+x32+2x1x2-2x2x3-2ax1x3的正负惯指数都是1，试计算a的值并用正交变换将二次型化为标准型．

Answer 1

二次型的矩阵为A=

1 1 ?a 1 a ?1 ?a ?a 1

．
由二次型的正负惯性指数都是1，可知r（A）=2．
由

.

A

.

=

.

1 1 ?a 1 a ?1 ?a ?1 a

.

=-（a+2）（a-1）²=0，
可得a=-2，或a=1．
又a=1时，显然r（A）=1，
故只取a=-2．
此时|λE-A|=λ（λ+3）（λ-3），
所以A的特征值是3，-3，0．
①当λ₁=3时，解方程组（3E-A）X=0，得基础解系为α1＝(1，0，1)T．
②当λ₂=-3时，解方程组（-3E-A）X=0，得基础解系为α2＝(1，?2，?1)T．
③当λ₃=0时，解方程组（0E-A）X=0，得基础解系为α3＝(1，1，?1)T．
将α₁，α₂，α₃单位化得：
β1＝(

1

2

，0，

1

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