Question

如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG

如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④∠GAE=45°；⑤S△FGC=3.6．则正确结论的个数有（　　）A．2B．3C．4D．5

Answer 1

∵正方形ABCD中，AB=6，
∴AD=CD=BC=6，
∵CD=3DE，
∴CD=2，DE=4，
∵△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AF=AD=6，ED=EF=2，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFG=90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中

AB＝AF AG＝AG

，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），所以①正确；
∴BG=FG，
设BG=x，则GF=x，CG=6-x，
在Rt△CGE中，GE=GF+EF=x+2，CE=4，CG=x，
∵CG²+CE²=GE²，
∴x²+4²=（x+2）²，解得x=3，
∴BG=3，
∴CG=BC-BG=3，
∴BG=CG，所以②正确；
∵GF=CG=3，
∴∠GFC=∠GCF，
而∠BGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠BGF=2∠GCF，
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠BGA=∠FGA，
∴∠BGF=2∠BGA，
∴∠BGA=∠GCF，
∴AG∥CF，所以③正确；
∵△ADE沿AE对折至△AFE，
∴∠DAE=∠FAE，
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠BAG=∠FAG，
∴∠EAF+∠GAF=

1

2

（∠DAF+∠BAF）=

1

2

×90°=45°，
即∠GAE=45°，所以④正确；
作FH⊥GC于H，如图，
∴FH∥EC，
∴△GFH∽△GEC，
∴

FH

EC

=

GF

GE

，即

FH

4

=

3

5

，解得FH=

12

5

，
∴S_△GCF=

1

2

×3×

12

5

=3.6，所以⑤正确．
故选D．