（2010?静海县一模）已知，如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上一
（2010?静海县一模）已知，如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线...
（2010?静海县一模）已知，如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，交BC边于点E，当点P运动到点P1位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y=2x+1，（Ⅰ）求BC、AP1的长；（Ⅱ）设AP=m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；（Ⅲ）以点E为圆心作⊙E与x轴相切，探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种位置关系，并求出AP相应的取值范围．
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（Ⅰ）∵点在直线y=2x+1上，
∴B（0，1）．
又∵A（0，3），
∴AB=2，BC=2AB=4．
∵P1为圆心，F1为P1与直线AC的切点，
∴P1F1⊥AC，∠BAF1+∠ABF1=90°．
又∵∠AP1F1+∠ABF1=90°，
∴∠AP1F1=∠BAF1．
在Rt△ABC和Rt△P1AB中，
∵∠BP1A=∠CAB，
∴Rt△BP1A∽Rt△CAB．
∴
＝
，AP1＝
＝
＝1；
（Ⅱ）PD=4-m，过P作BC的垂线，垂足为G，
∵PF∥P1F1，P1P∥BE，
∴四边形P1PEB为平行四边形，
∴P1B=PE．
又PG=AB，
∴Rt△BAP1≌Rt△PGE，AP1=GE=1．
∴EC=CG+GE=PD+GE=5-m，
∴s=-2m+9．（6分）
1≤m＜4；
（Ⅲ）当EF=1时，
∵△EFC∽△ABC，
∴
＝
＝
，EC＝
，
∵PE＝BP1＝
＝
，
∴PF＝PE?EF＝
?1
又△EFC∽△PFA，
∴
＝
，AP＝
∴B（0，1）．
又∵A（0，3），
∴AB=2，BC=2AB=4．
∵P1为圆心，F1为P1与直线AC的切点，
∴P1F1⊥AC，∠BAF1+∠ABF1=90°．
又∵∠AP1F1+∠ABF1=90°，
∴∠AP1F1=∠BAF1．
在Rt△ABC和Rt△P1AB中，
∵∠BP1A=∠CAB，
∴Rt△BP1A∽Rt△CAB．
∴
| AB |
| BC |
| AP1 |
| AB |
| AB2 |
| BC |
| 22 |
| 4 |
（Ⅱ）PD=4-m，过P作BC的垂线，垂足为G，
∵PF∥P1F1，P1P∥BE，
∴四边形P1PEB为平行四边形，
∴P1B=PE．
又PG=AB，
∴Rt△BAP1≌Rt△PGE，AP1=GE=1．
∴EC=CG+GE=PD+GE=5-m，
∴s=-2m+9．（6分）
1≤m＜4；
（Ⅲ）当EF=1时，
∵△EFC∽△ABC，
∴
| EF |
| EC |
| AB |
| AC |
| ||
| 5 |
| 5 |
∵PE＝BP1＝
| AB2+AP12 |
| 5 |
∴PF＝PE?EF＝
| 5 |
又△EFC∽△PFA，
∴
| EC |
| EF |
| AP |
| PF |
EC×PF
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