Question

（2010?安徽模拟）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC=BC=BB1=2，D为AB的中点，且CD⊥DA1

（2010?安徽模拟）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC=BC=BB1=2，D为AB的中点，且CD⊥DA1．（Ⅰ）求证：BB1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证：BC1∥平面CA1D；（Ⅲ）求三棱锥B1-A1DC的体积．

Answer 1

（1）∵AC=BC，D为AB的中点．∴CD⊥AB
又∵CD⊥DA₁，∴CD⊥平面ABB₁A₁∴CD⊥BB₁
又BB₁⊥AB，AB∩CD=D
∴BB₁⊥面ABC．

（2）连接BC₁，连接AC₁交A₁C于E，连接DE，E是AC₁中点，
D是AB中点，则DE∥BC₁，
又DE?面CA₁D₁BC₁?面CA₁D₁
∴BC₁∥面CA₁D

（3）由（1）知CD⊥平面AA₁B₁B
故CD是三棱锥C-A₁B₁D的高
在Rt△ACB中，AC=BC=2，∴AB=2

2

，CD=

2

又BB₁=2
∴V_B1-A1DC=V_C-A1B1D=

1

3

S_△A1B1DCD=

1

6

A₁B₁×B₁B×CD
=

1

6

×2

2

× 2×

2

=

4

3

．