Question

（2009?鼓楼区二模）如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O

（2009?鼓楼区二模）如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=15，EF=10，求AE的长．

Answer 1

解：（1）直线EF与⊙O相切．
理由：连接OE，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∵EF∥AC，
∴∠FEA=∠CAE，
∵∠CBE=∠CAE，∠CBE=∠ABE，
∴∠FEA=∠ABE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠FEA+∠OEA=90°，
∴直线EF与⊙O相切；

（2）∵∠FEA=∠FBE，∠EFA=∠BFE，
∴△EFA∽△BFE，
∴

FE

FA

=

FB

FE

，
又∵AB=15，EF=10，
∴AF=5，
又∵

AE

BE

=

AF

EF

，
∴BE=2AE，
又∵AB²=BE²+AE²，
∴AE=3

5

．