设f(x)是区间[0,+∞)上单调减少且非负的连续函数,an=nk=1f(k)?∫n1f(x)dx(n=1,2,…),证明数

设f(x)是区间[0,+∞)上单调减少且非负的连续函数,an=nk=1f(k)?∫n1f(x)dx(n=1,2,…),证明数列{an}的极限存在.... 设f(x)是区间[0,+∞)上单调减少且非负的连续函数,an=nk=1f(k)?∫n1f(x)dx(n=1,2,…),证明数列{an}的极限存在. 展开
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安若瑾373
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证明:利用单调有界的数列必收敛这一定理证明
首先,证明数列{an}是单调的
因为:an
n
k=1
f(k)?
n
1
f(x)dx
(n=1,2,…),

an+1?an=f(n+1)?
n+1
n
f(x)dx
=f(n+1)-f(ξ)[(n+1)-n]=f(n+1)-f(ξ),其中ξ∈(n,n+1)
而f(x)是区间[0,+∞)上单调减少且非负的连续函数,因而
f(n+1)<f(ξ)
∴an+1-an<0
∴数列{an}是单调递减的.
其次,证明数列{an}是有界的,这里由于数列{an}是单调递减的,因此只需要证明有下界就行
an
n
k=1
f(k)?
n
1
f(x)dx
得:
an
n
k=1
f(k)?[
2
1
f(x)dx+
3
2
f(x)dx+…+
n
n?1
f(x)dx

=
n
k=1
f(k)?
n?1
k=1
k+1
k
f(x)dx

=
n?1
k=1
f(k)?
n?1
k=1
k+1
k
f(x)dx+f(n)

=
n?1
k=1
k+1
k
[f(k)?f(x)]dx+f(n)

又f(x)是区间[0,+∞)上单调减少且非负
∴f(k)-f(x)>0,x∈(k,k+1),f(n)≥0
∴an=
n?1
k=1
k+1
k
[f(k)?f(x)]dx+f(n)>0

∴数列{an}是有下界
因此数列{an}是单调递减有下界的
数列{an}的极限存在
茹翊神谕者

2021-09-03 · TA获得超过2.5万个赞
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简单计算一下即可,答案如图所示

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