Question

已知函数f（x）=12x2-2tx+3lnx，g（x）=x+tx2+3，函数f（x）在x=a，x=b处取得极值，其中0＜a＜b．（1）求

已知函数f（x）=12x2-2tx+3lnx，g（x）=x+tx2+3，函数f（x）在x=a，x=b处取得极值，其中0＜a＜b．（1）求实数t的范围；（2）判断g（x）在[-b，-a]上单调性；（3）已知g（x）在[-b，-a]上的最大值比最小值大13，若方程f（x）=m有3个不同的解，求m的范围．

Answer 1

（1）f′(x)＝x?2t+

3

x

＝0有两个不等正根，即方程x²-2tx+3=0有两个不等正根a，b，
∴△=4t²-12＞0且f'（x）的对称轴x=t＞0及f'（0）=3＞0，
解得：t＞

3

；
（2）g′(x)＝

(x2+3)?(x+t)2x

(x2+3)2

＝

?x2?2tx+3

(x2+3)2

，
根据题设得：a+b=2t，ab=3，
令h（x）=-x²-2tx+3=-（x+t）²+3+t²
∵h（x）的对称轴为x＝?t＝?

a+b

2

，
∴h（x）在[-b，-a]上的最小值为h（-a）=h（-b）=-a²+2at+3=-a²+a（a+b）+3=6＞0，
∴g'（x）＞0，
∴g（x）在[-b，-a]上单调递增；
（3）由（2）可知g（x）在[-b，-a]上单调递增，
g(x)max?g(x)min＝g(?a)?g(?b)＝

?a+t

a2+3

?

?b+t

b2+3

＝

1

3

，
∴

(b?a)(3?ab+t(b+a))

(a2+3)(b2+3)

＝

1

3

，
∵a+b=2t，ab=3，0＜a＜b，
解得：a=1，b=3，
∴f(x)＝

1

2

x2?4x+3lnx，∴f′(x)＝x?4+

3

x

＝

(x?1)(x?3)

x

，
∴f（x）在（0，1），（3，+∞）上递增，在（1，3）上递减，
∵f(1)＝?

7

2

，f(3)＝?

15

2

+3ln3，
∴当?

15

2

+3ln3＜m＜?

7

2

时，方程f（x）=m有3解，
∴m的范围为(?

15

2

+3ln3，?

7

2

)；