Question

在数列{an}中，已知a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，且对任意正整数n，Sn+1=4an+2．（I）令bn=an+1-2an（n=

在数列{an}中，已知a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，且对任意正整数n，Sn+1=4an+2．（I）令bn=an+1-2an（n=1，2，…），证明{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式；（II）令f（x）=xln（1+x）-a（x+1），为数列{1log2cn+2?log2cn+1}的前n项和，求limn→∞Tn．

Answer 1

解（I）a_n+1=S_n+1-S_n=4（a_n-a_n-1）①
∵b_n=a_n+1-2a_n
∴b_n+1=a_n+2-2a_n+1
由①得b_n+1=4（a_n+1-a_n）-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n）
∴

bn+1

bn

＝

2(an+1?2an)

an+1?2an

＝2
∴b_n}是公比为2的等比数列
∵b₁=a₂-2a₁=3
∴b_n=3×2^n-1
（II）∵Cn＝

bn

3

＝2n?1
∴

1

log2cn+2?log2cn+1

＝

1

n(n+1)

∴Tn＝(1?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

n

?

1

n+1

)=1?

1

n+1

∴

lim

n→∞

Tn＝

lim

n→∞

(1?

1

n+1

)＝1