Question

已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，点D的坐标为（2，1），则p的值

已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，点D的坐标为（2，1），则p的值为（　　）A．52B．23C．54D．32

Answer 1

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直线OD斜率为

1

2

，OD⊥AB，∴直线AB斜率为-2，
故直线AB方程为2x+y-5=0…（1）
将（1）代入抛物线方程得y²+py-5p=0，
则y₁y₂=-5p，
∵y12=2px₁，y22=2px₂，
则（y₁y₂）²=4p²x₁x₂，
故x₁x₂=

25

4

，
∵OA⊥OB
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵p＞0，∴p=

5

4

．
故选C．