Question

已知函数f（x）=-x3+ax2-4（a∈R）．若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为π4．（

已知函数f（x）=-x3+ax2-4（a∈R）．若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为π4．（Ⅰ）设f（x）的导函数是f'（x），若s，t∈[-1，1]，求f'（s）+f（t）的最小值；（Ⅱ）对实数k的值，讨论函数F（x）=f（x）-k零点的个数．

Answer 1

（I）f'（1）=1?a=2?f（x）=-x³+2x²-4?f'（x）=-3x²+4x（3分）
因s，t互相独立，故只要分别求f'（s），f（t），s，t∈[-1，1]的最小值即可
当s=-1，t=0时，f'（s）+f（t）的最小值为-11
（II）等价于讨论f（x）=k的实根的个数

x	（-∞，0）	0	(0， 4 3 )	4 3	( 4 3 ，+∞)
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	-4	↗	? 76 27	↘

∴k＞?

76

27

或k＜?4，一解；k＝?

76

27

或k＝?4，二解；?4＜k＜?

76

27

，三解．