Question

（2008?番禺区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，D为AB延长线上一点，DC=AC，∠ACD=120°，BD=10．

（2008?番禺区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，D为AB延长线上一点，DC=AC，∠ACD=120°，BD=10．（1）判断DC是否为⊙O的切线，并说明理由；（2）求扇形BOC的面积．

Answer 1

（1）DC是⊙O的切线．
理由：∵DC=AC，
∴∠CAD=∠D，
又∵∠ACD=120°，
∴∠CAD=

1

2

（180°-∠ACD）=30°，
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°，
又∵∠D=30°，
∴∠OCD=180°-∠COD-∠D=90°，
∴DC是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OCD中，sin∠D=

OC

OD

=

r

r+BD

，
∵∠D=30，BD=10，
∴

r

r+10

=

1

2

，
解得r=10，
∴扇形BOC的面积=

nπr2

360

=

60×π×102

360

=

50π

3

．