Question

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为(根号2)/2，且过点B（0,1），M（2，t）（t＞0）是动点

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为(根号2)/2，且过点B（0,1），M（2，t）（t＞0）是动点，
（1）求椭圆的标准方程,
(2 )设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。
（3）设点P（x，y）在椭圆上，求x+y的最大值和最小值。
求详解，要步骤。谢谢。

Answer 1

（1）e=√2/2

焦点在x轴上

b=1

∴c/a=√2/2

∴√(a²-b²)/a=√2/2

∴a=√2

∴椭圆方程是x²/2+y²=1

(2)

c=√(a²-b²)=1

∴F(1,0)

OM的斜率=t/2

∵OM⊥FN

∴FN斜率=-2/t

∴FN直线方程是y=-2/t*(x-1)

这里变形，下面有用

ty+2x=2①

∵OM是直径

∴ON⊥NM

∴k(ON)*k(NM)=-1

设N(x,y)

∴y/x*(t-y)/(2-x)=-1

解得ty+2x=x²+y²②

∵ON=√(x²+y²)=ty+2x

利用①

∴ON=√2是定值

（3）

x²/2+y²=1

令x=√2cosa,y=sina

∴x+y=sina+√2cosa=√(1+2)sin(a+θ)=√3sin(a+θ),其中tanθ=√2/1=√2,不影响结果

∴x+y最大值=√3

最小值=-√3