Question

如图，已知一次函数y=-x+7与正比例函数y= x的图象交于点A，且与x轴交于点B。 （1）求点

如图，已知一次函数y=-x+7与正比例函数y= x的图象交于点A，且与x轴交于点B。 （1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O-C-A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q，当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动，在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒。①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？ ②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。





Answer 1

解：（1）根据题意，得 ， 解得 ， ∴A（3，4）， 令y=-x+7=0，得x=7， ∴B（7，0）。
（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4， 由S △APR =S 梯形COBA -S △ACP -S △POR -S △ARB =8， 得 （3+7）×4- ×3×（4-t）- t（7-t）- t×4=8 整理，得t 2 -8t+12=0， 解之得t 1 =2，t 2 =6（舍）
当P在CA上运动，4≤t＜7， 由S △APR = ×（7-t）×4=8，得t=3（舍） ∴当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8；
②当P在OC上运动时，0≤t＜4，此时直线l交AB于Q， ∴AP= ，AQ= t，PQ=7-t 当AP=AQ时， （4-t） 2 +3 2 =2（4-t） 2 ， 整理得，t 2 -8t+7=0， ∴t=1，t=7（舍） 当AP=PQ时， （4-t） 2 +3 2 =（7-t） 2 ， 整理得，6t=24， ∴t=4（舍去） 当AQ=PQ时，2（4-t） 2 =（7-t） 2 整理得，t 2 -2t-17=0 ∴t=1±3 （舍）
当P在CA上运动时，4≤t＜7， 此时直线l交AO于Q， 过A作AD⊥OB于D，则AD=BD=4， 设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t， 由cos∠OAC= ，得AQ= （t-4）， 当AP=AQ时，7-t= （t-4）， 解得t= ， 当AQ=PQ时，AE=PE，即AE= AP 得t-4= （7-t）， 解得t =5， 当AP=PQ时， 过P作PF⊥AQ于F AF= AQ = × （t-4）， 在Rt△APF中， 由cos∠PAF= ， 得AF= AP 即 （t-4）= ×（7-t）， 解得t= ， ∴综上所述，t=1或 或5或 时，△APQ是等腰三角形。