Question

在直角坐标系中，⊙O 1 经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B． （1）如图，过点A作⊙O

在直角坐标系中，⊙O 1 经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B． （1）如图，过点A作⊙O 1 的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为 12 5 ，sin∠ABC= 3 5 ，求直线AC的解析式；（2）若⊙O 1 经过点M（2，2），设△BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化？如果不变，求出其值；如果变化，求其变化的范围．

Answer 1

（1）如图1，过O作OG⊥AB于G，则OG= 12 5 ． 设OA=3k（k＞0）， ∵∠AOB=90°，sin∠ABC= 3 5 ． ∴AB=5k，OB=4k． ∵OA?OB=AB?OG=2S △AOB′ ∴3k×4k=5× 12 5 ，∴k=1． ∴OA=3，OB=4，AB=5， ∴A（3，0）． ∵∠AOB=90°， ∴AB是⊙O 1 的直径． ∵AC切⊙O 1 于A， ∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°． 在Rt△ABC中 ∵cos∠ABC= AB BC = 4 5 ， ∴BC= 25 4 ． ∴OC=BC-OB= 9 4 ． ∴C（0，- 9 4 ）． 设直线AC的解析式为y=kx+b，则 3k+b=0 b=- 9 4 ∴ k= 3 4 ，b=- 9 4 ． ∴直线AC的解析式为y= 3 4 x- 9 4 ． （2）结论：d+AB的值不会发生变化， 设△AOB的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，如图2所示． ∴BQ=BT，AP=AT，OQ=OP= d 2 ． ∴BQ=BT=OB- d 2 ，AP=AT=OA- d 2 ． ∴AB=BT+AT=OB- d 2 +OA- d 2 =OA+OB-d． 则d+AB=d+OA+OB-d=OA+OB． 在x轴上取一点N，使AN=OB，连接OM、BM、AM、MN． ∵M（2，2）， ∴OM平分∠AOB， ∴OM=2 2 ， ∴∠BOM=∠MON=45°， ∴AM=BM， 又∵∠MAN=∠OBM，OB=AN， ∴△BOM≌△ANM， ∴∠BOM=∠ANM=45°，∠ANM=∠MON， ∴OM=NM∠OMN=90°， ∴OA+OB=OA+AN=ON= O M 2 +M N 2 = 2 ×OM= 2 ×2 2 =4． ∴d+AB的值不会发生变化，其值为4．