Question

已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC． ①求证：CD=AN；②若∠AMD=2∠MCD，

已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC． ①求证：CD=AN；②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．

Answer 1

详见解析

试题分析：①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC=∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证； ②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD=∠MDC，再根据等角对等边可得MD=MC，然后证明AC=DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证． 试题解析：①∵CN∥AB， ∴∠DAC=∠NCA， ∵MA=MC，∠AMD＝∠CMN， ∴△AMD≌△CMN（ASA）， ∴AD=CN， 又∵AD∥CN， ∴四边形ADCN是平行四边形， ∴CD=AN； ②∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC， ∴∠MCD=∠MDC， ∴MD=MC， 由①知四边形ADCN是平行四边形， ∴MD=MN=MA=MC， ∴AC=DN， ∴四边形ADCN是矩形．