Question

如图，二次函数y=x 2 ＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（－3，0），经过B点的直线交抛物线于

如图，二次函数y=x 2 ＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（－3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（－2，－3）.（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

(1) y=x 2 ＋2x－3 ， y=x－1 (2) 存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形

解：（1）将A（－3，0），D(－2，－3)的坐标代入y=x 2 ＋bx＋c得， ，解得： 。 ∴抛物线的解析式为y=x 2 ＋2x－3 。 由x 2 ＋2x－3=0，得：x 1 =－3，x 2 =1，∴B的坐标是（1，0）。 设直线BD的解析式为y=kx＋b，则 ，解得： 。 ∴直线BD的解析式为y=x－1。 （2）∵直线BD的解析式是y=x－1，且EF∥BD, ∴直线EF的解析式为：y=x－a。 若四边形BDFE是平行四边形，则DF∥x轴。 ∴D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为－3。 由 得y 2 ＋（2a＋1）y＋a 2 ＋2a－3=0，解得：y=  。 令 =－3，解得：a 1 =1，a 2 =3。 当a=1时，E点的坐标（1，0），这与B点重合，舍去； ∴当a=3时，E点的坐标（3，0），符合题意。 ∴存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形。 （1）把A、D两点的坐标代入二次函数解析式可得二次函数解析式中b，c的值，让二次函数的y等于0求得抛物线与x轴的交点B，把B、D两点代入一次函数解析式可得直线BD的解析式。 （2）得到用a表示的EF的解析式，跟二次函数解析式组成方程组，得到含y的一元二次方程，进而根据y=－3求得合适的a的值即可。