Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果BC=8，AB=5，求CE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD． ∵OD=OB（⊙O的半径）， ∴∠B=∠ODB（等边对等角）； ∵AB=AC（已知）， ∴∠B=∠C（等边对等角）； ∴∠C=∠ODB（等量代换）， ∴OD ∥ AC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠ODE=∠DEC（两直线平行，内错角相等）； ∵DE⊥AC（已知）， ∴∠DEC=90°， ∴∠ODE=90°，即DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线； （2）连接AD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）； ∴AD⊥CD； 在Rt△ACD和Rt△DCE中， ∠C=∠C（公共角）， ∠CED=∠CDA=90°， ∴Rt△ACD ∽ Rt△DCE（AA）， ∴ CE CD = DC AC ； 又由（1）知，OD ∥ AC，O是AB的中点， ∴OD是三角形ABC的中位线， ∴CD= 1 2 BC； ∵BC=8，AB=5，AB=AC， ∴CE= 16 5 ．