Question

二元函数的二阶偏导数问题

二元函数的二阶偏导数中两个二阶混合偏导数是怎么导的。比如，分别对X，对Y的二阶偏导就是各导两次，那混合偏导数是怎么导的，是先对X偏导，在对Y偏导，然后相乘么？那么两个混合偏导数为什么又不一定相等？

学生请教达人，求解！

Answer 1

要看偏导的书写顺序，x在前就先对x求偏导,y在前就先对y求偏导。

如果偏导顺序是先对x再对y，那么对y求偏导时是对前面求完偏导得到的函数再求偏导（而不是对原来的函数）。

因为第二次开始求偏导的对象（也就是上一次求偏导的结果）是不同的，所以混合偏导的偏导顺序不同，结果并不一定相等。

Answer 2

一般来说求偏导数可以对每种自变量的倒是单独来求，如果出现Fxy或者Fyx的情况，都是先对x求偏导数然后再将求过x导数之后的函数看作是y的函数再对y进行，反过来一样。
最好是利用例子进行：
F（x,y）=x^2y+xy^2
Fx=2xy+y^2
Fxy=2x+2y
Fxx=2y
Fy=2xy+x^2
Fxy=2x+2y
Fyy=2x
Fxx+Fyy=2x+2y
....
将上面的组合相加即可。

Answer 3

设u=f(x,y),则u<x>,u<y>分别表示u对x,对y求导，它们仍是x,y的函数，
u<x><y>,u<y><x>分别是u<x>对y求导，u<y>对x求导，所以两者不一定相等。
在课本里大概可以找到相应的例子。