Question

已知函数f（x）=1?a+lnxx，a∈R（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，求k的取

已知函数f（x）=1?a+lnxx，a∈R（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；（Ⅲ）已知x1＞0，x2＞0，且x1+x2＜e，求证：x1+x2＞x1x2．

Answer 1

（Ⅰ）∵f/(x)＝

a?lnx

x2

，令f′（x）=0得x=e^a
当x∈（0，e^a），f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（e^a，+∞），f′（x）＜0，f（x）为减函数，
可知f（x）有极大值为f（e^a）=e^-a
（Ⅱ）欲使lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，只需

lnx

x

＜k在（0，+∞）上恒成立，
设g(x)＝

lnx

x

(x＞0)．由（Ⅰ）知，g(x)在x＝e处取最大值

1

e

，∴k＞

1

e

（Ⅲ）∵e＞x₁+x₂＞x₁＞0，由上可知f(x)＝

lnx

x

在（0，e）上单调递增，
∴

ln(x1+x2)

x1+x2

＞

lnx1

x1

即

x1ln(x1+x2)

x1+x2

＞lnx1①，
同理

x2ln(x1+x2)

x1+x2

＞lnx2②
两式相加得ln（x₁+x₂）＞lnx₁+lnx₂=lnx₁x₂
∴x₁+x₂＞x₁x₂