Question

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c．（1）若当∠A=θ时，cosA+2cos(B+C2)取到最大值，求θ

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c．（1）若当∠A=θ时，cosA+2cos(B+C2)取到最大值，求θ的值；（2）设∠A的对边长a=1，当cosA+2cos(B+C2)取到最大值时，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（1）∵

B+C

2

=

π?A

2

，
则cosA+2cos(

B+C

2

)
=cosA+2sin(

A

2

)
=1?2sin2

A

2

+2sin

A

2

=?2(sin

A

2

?

1

2

)2+

3

2

易得当sin

a

2

＝

1

2

，即A=

π

3

时，cosA+2cos(

B+C

2

)取到最大值，
故θ=

π

3

，
（2）由（1）的结论
S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc
又∵a=1，即A=

π

3

由余弦定理可得bc≤1即S≤

3

4

故△ABC面积的最大值

3

4