Question

某次数学竞赛共16道选择题，评分的方法是：每做对一题得5分，做错一题扣1分，未做不得分也不扣分，而且每

某次数学竞赛共16道选择题，评分的方法是：每做对一题得5分，做错一题扣1分，未做不得分也不扣分，而且每个考生给10分底分．那么这次竞赛成绩最多有______种不同的分数．

Answer 1

做对16题最多得90分；
做对15题最多得85分．可能分数有85，84；没有86，87，88，89；4个数．
做对14题最多得80分．可能分数有80，79，78；没有81，82，83；3个数．
做对13题最多得75分，可能分数有75，74，73，72；没有76，77；2个数．
做对12题最多得70分，可能分数有70，69，68，67，66；没有71；1个数．
做对11题最多得65分，可能分数有65，64，63，62，61，60；
做对10题最多得60分，可能分数有60，59，58，57，56，55，54；
做对9题最多得55分，可能分数有55，54，53，52，51，50，49，48；
以下类推，分数都能衔接上．
做对0题最多得10分，可能分数有10，9，8，7，…，1，0，-1…，-6；
-6--------90之间有10个数无法得到，
所以97-10=87．
故答案为：87．

Answer 2

最高分90分，最低分0分，从91个分值中减去不可出现的分值，集中在高分段：81、82、83、86、87、88、89

Answer 3

正确答案：153种。
这属于排列问题。共16道题，可能答对的题目个数是从全部答错，答对1题……到答对16题，一共17种。
当答对16题时，得分为16×5+10=90分；（1种）
当答对15题时，另外1题可能没答，也可能答错，分数为15×5+10=85（分）15×5+10-1=84（分）（共2种）
当答对14题时，另外2题，可能都没答，可能1个没答错1个，可能2个答错（共3种）
分数为14×5+10=80；另外为79、78
当答对13题时，另外3题，可能都没答，可能2个没答错1个，可能1个没答错2个，可能3个答错（共4种）
分数为：13×5+10=75；另外为74、73、72
……
当答对1题时，另外15题，可能都没答，可能14个没答错1个，可能13个没答错2个，可能12个没答错3个，……可能2个没答错13个，可能1个没答错14个，可能15个答错，（共16种）
当没答对1题时，可能16个都没答，可能15个没答错1个，……可能1个没答错15个，可能16个全答错（共17种）
所以答题方法一共有：
1+2+3+4+……+15+16+17
=（1+17）×17÷2
=18×17÷2
=153（种）