Question

已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，且对x∈R，恒有f（1+x）=f（1-x）．又当x∈[0，1]时，f（x）=x．

已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，且对x∈R，恒有f（1+x）=f（1-x）．又当x∈[0，1]时，f（x）=x．（1）当x∈[-1，0]时，求f（x）的解析式；（2）求证：函数y=f（x）（x∈R）是以T=2为周期的周期函数；（3）解答本小题考生只需从下列三个问题中选择一个写出结论即可（无需写解题步骤）．注意：考生若选择多于一个问题解答，则按分数最低一个问题的解答正确与否给分．①当x∈[2n-1，2n]（n∈Z）时，求f（x）的解析式．②当x∈[2n-1，2n+1]（其中n是给定的正整数）时，若函数y=f（x）的图象与函数y=kx的图象有且仅有两个公共点，求实数k的取值范围．③当x∈[0，2n]（n是给定的正整数且n≥3）时，求f（x）的解析式．

Answer 1

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分（5分），第2小题满分（5分），第3小题最多（8分）．
解（1）∵y=f（x）是R上的偶函数，且x∈[0，1]时，f（x）=x，
又当x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，有f（-x）=-x．
∴f（x）=-x（-1≤x≤0）．    　　　　　　　　　　　　　        　　　　   （5分）
（2）证明∵对于x∈R，恒有f（1+x）=f（1-x），
∴f（2+x）=f（1+（1+x））=f（1-（1+x）），即f（2+x）=f（-x）．     　　　　　　（7分）
又∵y=f（x）是偶函数，
∴f（2+x）=f（x），即y=f（x）是周期函数，且T=2就是它的一个周期．  　　（10分）
（3）依据选择解答的问题评分
①f（x）=2n-x（x∈[2n-1，2n]）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （14分）
②0＜k≤

1

2n+1

．                                                         （16分）
③f(x)＝

x(x∈[0，1)) 2?x(x∈[1，2)) x?2(x∈[2，3)) ? x?(2n?2)(x∈[2n?2.2n?1)) 2n?x(x∈[2n?1，2n]).

（18分）